线性变换的像与核的定义及性质

一、定义与基本概念

线性变换是线性代数中的核心概念，其核心特征在于保持向量加法与标量乘法的运算性质。设$\mathbb{V}$为数域$\mathbb{F}$上的向量空间，$T: \mathbb{V} \rightarrow \mathbb{V}$为一个线性变换，则其像（image）与核（kernel）是刻画其行为的两个关键属性。
像是指线性变换作用下所有输出向量的集合，即$ \text{Im}(T) = { T(\mathbf{v}) \mid \mathbf{v} \in \mathbb{V} } $。
核是指满足$ T(\mathbf{v}) = \mathbf{0} $的所有向量的集合，即$ \text{Ker}(T) = { \mathbf{v} \in \mathbb{V} \mid T(\mathbf{v}) = \mathbf{0} } $。
像与核的定义揭示了线性变换的“输出范围”与“零解的存在性”两个本质特征。

二、像与核的性质

1. 像的性质

   • 像是原空间$\mathbb{V}$的子空间，其维度称为矩阵的秩（rank）。
   • 若线性变换$T$的矩阵表示为$A$，则$ \text{Im}(T) = \text{Span}{ \text{列向量} } $，其维度等于矩阵的秩。
   • 像空间的维度与矩阵的秩直接相关，即$ \dim(\text{Im}(T)) = \text{rank}(A) $。

2. 核的性质

   • 核是原空间$\mathbb{V}$的子空间，其维度称为核的维数（nullity）。
   • 核的大小由矩阵的秩决定，即$ \dim(\text{Ker}(T)) = \dim(\mathbb{V}) - \text{rank}(A) $，这体现了秩-核定理（Rank-Nullity Theorem）。
   • 核的维度与线性变换的“无解性”紧密关联：若核维度为0，则变换为满射（surjective）；若核维度大于0，则变换为非满射。

3. 像与核的维度关系

   • 像与核的维度之和等于原空间的维数，即$ \dim(\mathbb{V}) = \dim(\text{Im}(T)) + \dim(\text{Ker}(T)) $。
   • 这一关系是线性代数中最重要的定理之一，揭示了线性变换的“输出与输入”之间的平衡性。

三、像与核的几何意义

1. 像的几何意义
   • 像空间是线性变换作用下向量的“投影范围”，其几何形状取决于变换矩阵的