正合序列的定义、类型与判定

引言

正合序列（short exact sequence）是同调代数与范畴论中的核心概念，广泛应用于研究代数结构的性质与拓扑空间的同调理论。其核心在于通过映射关系构建序列，并满足特定的“正合”条件，从而揭示对象之间的精确关系。正合序列不仅是构建同调函子的基础工具，也是理解环论、模论及代数几何的关键桥梁。

正合序列的定义

正合序列是满足以下条件的序列：
$$ 0 \rightarrow A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \rightarrow 0 $$
其中，$f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的态射，$g$ 是从 $B$ 到 $C$ 的态射，且满足 $g \circ f = 0$。若进一步要求 $f$ 是全距（epimorphism）且 $g$ 是核（kernel）的映射，则序列称为短正合序列。若序列长度无限或方向性不固定，则称为长正合序列。

正合序列的类型

1. 短正合序列
   短正合序列是研究代数结构最基础的工具。其核心条件为：

   • $f$ 是全距（$f$ 是 surjective）；
   • $g$ 是核（$g$ 是 injective）；
   • $g \circ f = 0$。
     例如，若 $A$ 与 $C$ 为零空间，则序列 $0 \rightarrow A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} 0$ 为短正合序列。

2. 长正合序列
   长正合序列允许序列长度无限，且方向性不固定。其典型形式为：
   $$ \cdots \xrightarrow{h} B_n \xrightarrow{f} B_{n-1} \xrightarrow{g} \cdots \xrightarrow{h} B_1 \xrightarrow{f} B_0 \xrightarrow{h} B_{-1} \xrightarrow{g} \cdots $$
   其中，$f$ 与 $g$ 满足 $g \circ f = 0$，且序列在无限处终止。长正合序列常用于研究无限维空间的同调性质。

3. 正合序列的其他分类

   • 零序列：若所有映射均为零态射的序列，称为零正合序列。
   • 分解序列：若序列可分解为多个正合序列的组合，称为分解序列。
   • 可分解序列：若存在某个映射使得序列可分解为短正合序列。

正合序列的判定条件

1. 短正合序列的判定
   一个序列为短正合序列当且仅当满足以下条件：
   • $f$ 是全距；
   • $g$ 是核；
   • $g \circ f = 0$。