Guide d'apprentissage des connaissances fondamentales en théorie des groupes

Définition axiomatique d'un groupe (fermeture, loi de commutativité, etc.)
Conditions d'équivalence dans les groupes et vérification d'exemples
Les relations et distinctions entre les semi-groupes, les monoïdes et les groupes
Lois de composition et propriétés des éléments particuliers dans les groupes
Calcul de l'ordre d'un groupe et de l'ordre d'un élément
Détermination et propriétés des groupes abéliens
Définition, structure et générateurs des groupes cycliques
Propriétés des groupes cycliques finis et infinis
Définition du sous-groupe et théorème de détermination des sous-groupes
L'intersection des sous-groupes, leur réunion et la construction des sous-groupes générés par
Définition des classes à gauche et à droite d'un sous-groupe
Contenu et applications du théorème de Lagrange
Définition et conditions d'équivalence des sous-groupes normaux
Propriétés des opérations et méthodes de détermination des sous-groupes normaux
Définition, logique de construction et ordre d'un groupe quotient
Sous-groupes normaux et leur lien avec la décomposition de la structure de groupe
Définition et préservation des opérations des morphismes de groupe
Concepts et propriétés du noyau et de l'image d'un homomorphisme de groupes
Régularité des noyaux homomorphes et caractérisation par équivalence
Théorème fondamental des homomorphismes de groupes (premier théorème d'isomorphisme)
Définition, détermination et propriétés de l'isomorphisme de groupe
Propriétés des automorphismes et des isomorphismes de groupes
Contenu et applications des théorèmes d'isomorphisme du second et du troisième ordre
Le rôle de l'isomorphisme dans la classification des structures de groupes
La relation entre l'ordre d'un groupe fini et l'ordre de ses éléments
Théorème de structure des groupes abéliens finis
Le contenu central et les conséquences du théorème de Sylow.
Concepts de base et aperçu de la classification des groupes simples finis
Définition et exemples courants des groupes infinis
Structure et propriétés des groupes cycliques infinis
Un exemple typique d'un groupe infini non abélien
La différence fondamentale entre les groupes finis et les groupes infinis
Définition des représentations de groupe (représentation linéaire, représentation matricielle)
Équivalence de la représentation et décision de réductibilité
Définition et signification des représentations irréductibles
Opérations et propriétés fondamentales des représentations de groupes
Définition des caractéristiques, de leurs propriétés et de leurs méthodes de calcul.
Théorème de la complète réductibilité des représentations des groupes finis
Construction des tables de valeurs caractéristiques et leur application
Les applications fondamentales de la théorie des représentations de groupes en physique et en combinatoire.

Guides
Guide d'apprentissage des connaissances fondamentales en théorie des groupes
Régularité des noyaux homomorphes et caractérisation par équivalence

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